例題

のとき、この式の値を求めよ。（東北学院大）

解き方

このような型式の問題に出くわしたら、「あっ！比例式だ」とひらめけば、

もう答えはすぐそこまで見えています。

比例式のポイントは　「＝ｋ」

合言葉のように覚えておくと、便利です。

つまり

とおけば、a=bk、c=dkと変形することができるという手法です。

この手法を利用して、

とすれば、

a+1 = k(b+c+2)　　　（１）

b+1 = k(c+a+2)　　　（２）

c+1 = k(a+b+2)　　　（３）

（１）～（３）の３つの式が成り立ちます。

これらをすべ足し、（a+b+c+3）でくくると、

(a+b+c+3)(1-2k)=0　（４）となります。

あとは、（４）の式が成立するためには、

(a+b+c+3)の値が０であるか、（1-2k)の値が０になる必要があります。

前者であればa+b+c+3=0とおき、

a=-b-c-3と式を変形して、の式に代入してやれば良いのです。

これをbの場合、cの場合とそれぞれで求めます。

後者であればとなりますから、（１）～（３）の式に代入して、それぞれを求めれば良いわけです。

というわけで答えは、

a+b+c+3=0ならば　-1

a+b+c+30ならば、 となります。

比例式にすれば良いということに気がつけば、

あとは連立方程式を解くような感覚で、問題を解いていくことができます。

特徴的なこの型式を見たら「比例式」！これがポイントです。