虚数ω(オメガ)の解き方はこれで全て!|数学勉強法

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結論から入ろう。
2次方程式 x2+x+1=0 の解は,解の公式から x={-1±(√3)i}/2 となるね。

この解をωという記号で表すんだ。

つまり,ω={-1+(√3)i}/2 または ω={-1-(√3)i}/2 ということになる。

ωはこの2つの虚数のどちらと考えてもいいんだけれど,ω={-1+(√3)i}/2 とすると,ω2={-1-(√3)i}/2,

また ω={-1-(√3)i}/2 とすると,ω2={-1+(√3)i}/2 という性質を持っているんだね。

ということは,どちらにしてもx2+x+1=0 の解の1つをωと表すと他方はω2と表されるということなんだ。

いいかえると2次方程式 x2+x+1=0 の2解は,ω,ω2 で表されるということになるんだね。

当然ω2+ω+1=0 も満たすことになる。

 

まだまだ,ωの重要性はあるので,説明していこう。

さて,3次方程式 x3=1 を考えてみよう。

変形して,x3-1=0,左辺を因数分解して (x-1)(x2+x+1)=1,

したがって この3次方程式の解は,x=1,ω,ω2 となるね。だからωを1の虚数立方根ともいうんだ。

ここまでは分かってもらえただろうか。よーく考えてくれ。

 

ω3の値は?

1と答えられた人は大分分かってきたね。

この調子でさらに進もう。

 

 

ここまでで分かったことは,

 

x2+x+1=0 の解の一つをω(1の虚数立方根)と置くと他の解はω2と表されて,ω3=1,ω2+ω+1=0 という性質を持つ,ということだね。

 

入試問題では次の様なものが出題される。


ω100の値を求めよ。

というものだ。

力づくで100乗を計算,これは不可能だろう。

そこでω3=1を使うことになる。

つまり,ω100=(ω3)33×ω=133×ω=ω。

 

もう1題。

1+ω+ω23+…+ω98 の値を求めてみよう。

(与式)=(1-ω99)/(1-ω)=(1-1)/ (1-ω)=0。

 

ωの出てくる入試問題も沢山あるので,ωのもつ性質をしっかり理解して使えるようになっておかないと合格は難しいかもしれないぞ。