2018/11/09公開

相加相乗平均を使うときの注意点

相加相乗平均【a+b≧2√ab】を使うときに、皆さんは「等号成立条件」というものをつかいますよね?

これを適当に当てはめて、もうこれで大丈夫!と自信満々になった時に、実は問題によっては落とし穴があります…

 

例題を使いながら、どういうことか確認していきましょう。

 

例題)実数a,bがa>0,b>0を満たしながら変化するとき,(a+1/b)(b+4/a)の最小値を求めよ。

 

まずは、よくある間違いから示しますね。

a+1/b≧2√a×1/b(等号成立条件はab=1のとき)…① ←(a+1/b)の相加相乗平均

b+4/a≧2√b×4/a(等号成立条件はab=4のとき)…② ←(b+4/a)の相加相乗平均

①,②から ←それぞれの相加相乗平均を合わせれば,最小値が分かる

(a+1/b)(b+4/a)≧(2√a×1/b)×(2√b×4/a)=4√4ab/ab=8

よって最小値は8

 

…実はこれ、間違ってます。

 

なんで!って思う人もいると思います。

確かに(a+1/b)(b+4/a)それぞれの相加相乗平均を考えてから,まとめて最小値を考えることは間違ってはいません。

 

では、何が問題なのかというと、【①,②で等号成立条件が異なる】ということです。

よく見てあげると、①式はab=1のとき、②式はab=4のときですよね。

等号成立条件というのは、【最小値になるときの条件】のことです。即ち、等号成立条件が異なると、最小値にならない場合が出てきちゃうんです!

だからさっきの解き方は、間違っている、勿体ない!ということになります。

 

では、このような場合どう対応すれば良いかを下に示しますね。


正答)


(与式)=5+ab+4/ab ←与えられた式を展開します

    ≧5+2√ab×4/ab ←ab+4/abに相加相乗平均を適用します

    =9

以上から,最小値は9(等号成立はab=4/ab,つまりab=2のとき)

 

…どうでしょうか?先ほどと違う点は何かというと…

式の中身それぞれに相加相乗平均を適用×→【式を展開してから相加相乗平均を適用】○

という点です。

 

では,要点をまとめますね。

 

■まとめ(相加相乗平均の最小値を調べるとき)

 ・相加相乗平均を使うときは等号が成立することを確認する!

・等号成立条件が異なる場合は,【式を展開してから】相加相乗平均を使う

 

以上です!類題もたくさんあるので,解いてみてください!

 

【類題】

2003年神奈川大学経済学部1⃣(3)

 

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