複素数の基本を徹底復習! 虚数は実部と虚部に分けて考えよ!

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複素数って何なのさ。

複素数という新しい数を紹介します。

複素数について最初は覚えることが多いかもしれませんが、四則演算などは普通の数の計算と同じように

複素数でも計算できるので安心してください。

 

 複素数って?虚数って?

まず、次のような方程式の解を考えたいと思います。

+1=0

この方程式は移行すると=-1となります。

このように二乗すると-1になる数の1つをと書くか、虚数単位iを用いて表します。

つまりこの方程式の答えは

=-1

とも表せられます。

このような虚数単位を用いえて表す数を複素数といいます。 

 

複素数についてはこの方程式は実数解を持たないけれど、「解なし」では納得しない人が。どうしても解が欲しい、ということから

複素数という概念が出来上がりました。

複素数という数を使って虚数解を求めることに意味があるのか疑問に思うかもしれません。

でも、複素数を使うことで便利になることもあるんです。

つまり、複素数は仮想的な数であるにもかかわらず、数学や物理学のあらゆる場面で大活躍します。

複素数を使って表すことができる複素平面などは数学においてはとても美しい世界となっています。

さらに、複素数については、通常の実数や整数の範囲における命題を、複素数の範囲まで視野を広げて複素数として考えることで、美しく解けることがります。 

この複素数の応用は通常は複素数で考えることのない整数について、複素数の問題として考えることの例として、整数論があります。

複素数を整数論に応用することで、有名なフェルマーの最終定理に当てはめて考えることもできます。

複素数は仮想的な数なのですがこのようにいろいろな応用ができる数です。

 

それでは、実際に複素数の性質や複素数の計算方法を見てみましょう。

 

複素数は、aとbを実数とするとこの虚数iを用いることにより

z=a+bi

のように表されられます。

複素数をこのaとbを用いて表したとき

aを複素数zの実部

複素数zの実部をRezと表します。

bを複素数zの虚部

複素数zの虚部をImzと表します。

そして、虚部が0でない複素数zを虚数といいます。

 

また、虚部の符号が異なる複素数つまり、

a+biとa-biを互いに複素共役といいます。

a+biと互いに共役な複素数a-biを記号ではで表します。

 

複素数の絶対値というのは

|z|==

で定義します。

 

ここまで複素数、という新しい数について解説しましたが覚えることがたくさんで大変だったでしょう。

複素数は大きい、小さいというような大小関係は存在しない数でもあります。

つまり、複素数についてはz=3+2iとz=5+7iのどちらが大きいかということは存在しません。

 

次に、複素数の基本的な性質について解説していきます。

複素数の性質は公式がたくさん出てきますが安心してください。

実数の場合とほぼ同じです!

覚えることは新しく出てきた複素数の複素共役の計算と絶対値についてです。

複素数の複素共役と絶対値についても落ち着いて計算していけば複素数の計算ができます。

 

複素数の基本的な性質

nmは整数、abcdを実数、zvwを複素数の数とします。

 

複素数は四則演算ができます。

ポイント

複素数の実部と虚部とに分けて計算していきましょう!

 

  • (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
  • (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i
  • =+i
  • z + w = w + z
  • (z + w) + v = z + (w + v)
  • zw = wz
  • (zw)v = z(wv)
  • z(w + v) = zw + zv

 

次には複素数の性質を紹介します。

複素数は指数法則も成り立ちます。

  • =
  • =
  • =

 

複素数の公式が多いように思うかもしれませんが、実数の時と同じですね。

また、複素数の複素共役の性質を紹介します。

  • zが実数=z
  • zが純虚数=-z0
  • =z
  • |z|=||
  • z+=2Rez
  • z-=2Imz
  • z=||
  • =
  • =
  • =
  • =

複素数について実数の場合と違うのはこの複素共役の性質です。

 

複素数についての四則演算の性質は以上のようなものです。

複素数について覚えることが多くて大変だったでしょう。

しかし、複素数の四則演算や性質は今見たとおり、実数の場合後ほぼ同じです。

覚える必要のあるものは、複素数の絶対値についてと複素共役だけで十分です。

 

ポイント

複素数の計算

複素数の虚数単位iを含む式の和差積商については、次の計算規則に従って計算する。

  • iを含む式は、通常の文字式におけるa b などと同じように同類項の係数をまとめたり、和差積商の計算を行ったりすることができる。(これだけでは、虚数単位の定義はどこへ行ったのか?と疑問を持つ人がいるかもしれないが、iについては通常の文字と異なる次の規則を追加する)
  • が登場すれば、−1に置き換える。

 

では、複素数の基本演算について練習してみましょう。

練習

次の複素数の計算をしましょう。

(1+2i)+(3+4i)
(1+2i)−(5+7i)
(1+2i)(1−3i)

 

答え

(1+2i)+(3+4i)=4+6i
(1+2i)−(5+7i)=−4−5i
(1+2i)(1−3i)=1−i−6i2=1−i+6=7−i

このように、複素数の計算は普通の計算と同じようにできます。

 

複素数について具体的なイメージが沸いてきたでしょうか?

この複素数を使うといろいろな計算や世界が広がっていきます。

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