放物線における点対称の移動を詳しく解説!|数学勉強法

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放物線  を、任意の点 O を中心に対称移動させるときには、頭のなかに、下図のようなイメージを思い浮かべましょう。

頂点の座標は ( a b ) 、放物線の凹凸は r の正負、開き具合は r の絶対値で表されます。

放物線の移動の場合、放物線の開き具合を変えてはいけないので、頂点の座標 r の正負の2点についてのみ確認すれば答えを導くことができます。

 

まず、r の正負については、イメージ図から明らかで、元の放物線とは逆となることがわかります。

数値としては、r に – 1 をかけることで表すことができます。

r → – r

ということになります。

 

次に、頂点を点 O を中心に対称移動させます。仮に点 O の座標を  、移動後の頂点の座標を ( a’ b’ ) とすると、下図のようなイメージとなります。

 この図のように、頂点が右下へ移動する場合には

となります。つまり、移動後に数値が増えようと減ろうと同じ計算を行うことになるわけです。

※ 大事なのは考え方です。最後の数式だけ暗記するのは、急場凌ぎにはなりますが、先のことを考えると自分で図をイメージするなり描くなりして数式を導き出せることが重要となってきます。

 

では、例題で実際に問題を解いてみましょう。

例題)放物線  を、点 ( 6 3 ) を中心に対称移動してできる放物線を表す式を求めなさい。

手順1:r = 2 、頂点 ( 5 8 ) を確認する。

手順2:r に – 1 をかける。

    r : 2 → – 2

手順3:頂点を移動させる。

    x 座標:5 → 5 + 2 ( 6 – 5 ) = 7

    y 座標:8 → 8 – 2 ( 8 – 3 ) = – 2

これで、答えに必要な数値がすべて出揃いました。

あとはこれを放物線の一般的な形に代入して、

答え)

 

 最後に、 ⇔  の変形が苦手な人は「放物線を平行移動・対称移動させるときに必要な式変形」を読んで、しっかり練習しておきましょう!