数学Ⅰで多くの人が苦労するのが二次関数の最大、最小の問題です。特に文字が入ってくると「わけわからない」という人が非常に多いです。

その理由は場合わけの仕方がわからないからでしょう。

でも場合わけの仕方は決まっているのです！ここではそれを説明しましょう。

説明しやすいようにするため今は下に凸の二次関数を考えます。

また範囲とは問題で与えられている１≦ｘ≦aのような定義域のことです。

まず最小です。

下に凸のグラフで最小になる候補はどこでしょうか・・・。

答えは範囲の右端か左端か頂点です。

つまり場合わけは、

(1)範囲の左端が最小

(2)頂点が最小

(3)範囲の右端が最小

になります。具体的には二次関数の軸で場合わけします。

頂点があるのは軸上なので場合わけは

(1)軸＜範囲の左端

(2)軸が範囲の中

(3)範囲の右端＜軸

となります。

次に最大を考えましょう。

最大の候補となるのは範囲の右端か左端のみです。

こちらの場合わけはもっと簡単で範囲の中央が軸の右側か左側かです。

なぜかというと、範囲の中央に軸がある時、範囲の右端と左端で同時に最大になるのでそこから軸が右にずれると最大は右端、左にずれると左端になります。

これを踏まえて最大最小問題をやってみましょう。これがわかればもう何も怖くありませんよ！