どんな難題でもコンデンサーが入っている回路はこの考え方で解こう!

以前、コンデンサーが回路に入っているときの式の立て方という記事で簡単な簡単な問題でコンデンサーを含んだ回路の解き方を書いてみました。

少し難しい問題になってしまうと途端にできなくなってしまう人が多いですが、そんなことはなく同じ考え方で解けるので、実際にみていきましょう！

ポイント

コンデンサーCは電荷Qを蓄えることによって電位差Vを作ることができ、そのとき Q = CV が成り立つ。
方程式は全て定常状態でのキルヒホッフの第二法則と電荷保存則で立てる。
キルヒホッフの第二法則とは、ループをぐるっと一周してきたら電位は必ず0vになるということ。電圧上昇を+、電圧降下を-にして全て足し合わせて、(それら)=0とする。
電荷保存則とは、電荷が移動できない孤立系では必ず電荷の量が保存されるということ。(前の定常状態での電荷量)=(後の定常状態での電荷量)として使う
コンデンサーの性質で電気容量Cのコンデンサーに対して+Qから-Qへコンデンサーをまたぐと Q/C だけ電圧降下する。
消費電力とは、一秒あたりに抵抗で消費される電力のことで、抵抗 R[Ω] に電流 I[A] が流れているときに、P = I²R [J/s] となる。
静電エネルギーとはコンデンサーに電荷が蓄えられているときのエネルギーで、で表される。
コンデンサーは定常状態まで（つまり、キルヒホッフの第二法則が満たされるような電荷が溜まるまで）は電流が流れ込んできて、電荷が蓄えれてていき、定常状態になるの、コンデンサーには電流が流れ込まなくなる。

問題

図1のように、起電力Vの電池E 抵抗値がRの抵抗R₁ R₂ R₃ 可変抵抗r 電気容量がそれぞれC 2CのコンデンサーC₁ C₂ およびスイッチSを用いて回路を作る。

はじめスイッチは開いており、コンデンサーに電荷は蓄えられていない。抵抗以外の電気抵抗は無視できるものとする。

図1

問1 可変抵抗rの抵抗値をRとしてスイッチSを閉じた。十分に時間がたったとき、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーをU 回路の消費電力をPとする。

UおよびPを求めろ。

問2 次に図2のように、R₂とC₂の位置を入れかえる。可変抵抗rの抵抗値を3Rとして、スイッチSを閉じる閉じる。十分に時間がたったとき、C₁に蓄えられている電気量をQ₁、C₂に蓄えられている電気量をQ₂とする。Q₁/ Q₂ の値を求めろ。

図2

考え方（問1）

まずは静電エネルギーUを求めたいので、コンデンサーC₁間の電位差V_1、C₂間の電位差V₂を求めようと考える。
電位差を求めるにはとにかくキルヒホッフの第二法則から回路方程式を立てなければならないので、可変抵抗rとR₃の電圧降下が知りたい。
抵抗の電圧降下を知るには、オームの法則より、そこに流れる電流がわかっていないといけないので、電流がどういう流れになっているかを考える。
まず、R₁を流れる電流をIとすると、Iは可変抵抗rの方へいく選択肢とコンデンサーC₁へいく選択肢にわかれる。しかし、この問題では定常状態のときを考えるので、コンデンサーには電流が流れ込まない。よって、Iは全て可変抵抗rの方へいく。
よって、可変抵抗の電圧降下は IRである。
つぎに、電流Iは抵抗R₃とR₂にいく可能性がある。しかし、R₃の方向は必ずコンデンサーにいきついてしまうので、R₃の方向には電流は流れない。よって、R₃での電圧降下は0でR₂での電圧降下はIRである。
これで電圧降下が全て求まったので、回路方程式を立てていく。すると左上のループでは、 V₁ = IR
下の電源を含んだループではV = IR + IR + IR = 3IR つまり
よって、V₁ = V/3。ゆえにコンデンサーC₁の静電エネルギーは
同様に右上のループではV₂ = IR なので、 V₂ = V/3。ゆえにコンデンサーC₂の静電エネルギーは
これらを足し合わせると
^{_{次に、消費電力Pをかんがえてみよう。消費電力は各コンデンサーに対して}}I²Rでもとまるので、P = I²R×3 =

考え方（問2）

考え方は問1とほぼ変わりない。まずはQ₁をもとめるためにコンデンサーC₁の電位差V₁をもとめる。
そのためにはまた各抵抗に流れる電流が何なのかを把握する必要がある。
今回は、R₁にながれる電流をIとすると、コンデンサーの方には流れないので全ての抵抗で電流がIだけ流れる。
すると、左上での回路方程式は、V₁ = 3IR + IR = 4IR
右側での回路方程式は V₂ = IR + IR = 2IR
よって、Q₁ = CV₁ = 4CIR Q₂ = 2CV₂ = 4CIR
だから Q₁/Q₂ = 1 できた!!!