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極値を持つ条件を3次関数の導関数から学ぼう!|数学勉強法

話を分かりやすくするために,3次関数に限っての説明をしよう。

 

関数f(x)=x3-6x2+9x+3 の極値は,f’(x)=3(x-1)(x-3) だから 増減表を作ってx=1で極大値x=3で極小値をもつことが分かるね。

 

それは,f’(x)=0として,x=1,3を求め,f’(x)の符号を調べると,x=1の前後で+から-に変化し,x=3の前後で-から+に変化することから分かるんだったよね。

増減表は作れるだろうね。

そこでつまずいてる人は多いに反省すべきだぞ。

 

 

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■関数f(x)がx=αで極値をもつとは,どういうことか


→f’(α)=0であって,f’(x)の符号がx=αの前後で変化する場合
をいうんだ。


つまりこれが極値をとることの定義なんだね。

 

例えば,関数g(x)=x3-3x2+3x-1 の場合だと,g’(x)=3(x-1)2 だからg’(1)=0,ところが常に g’(x)≧0だから x=1の前後ではg’(x)の符号は変化しないことになる。

したがって,g(x)はx=1では極値はとらないということになる。g(x)は単調増加ということだね。

一般に3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)が極値をもつための条件を考えてみよう。

上に書いた定義から,f’(x)=0が実数解をもち,その解の前後でf’(x)の符号が変化すればいいわけだね。

ということは,2次方程式 f’(x)=0が異なる実数解を持てばいいということが分かる。

 

つまり,f’(x)=0の判別式をDとするとD>0が3次関数f(x)が極値をもつための条件ということになる。
 

 

例題をやってみよう。

 

f(x)=x3-ax2+3x+5が極値をもつ条件を求めてみよう。

 

f’(x)=3x2-2ax+3=0 だから 判別式はD/4=(-a)2-3・3=a2-9

したがってD>0より,a<-3,3<a これが求める条件ということになる。

 

分かっただろうか。