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素因数分解すれば約数の個数が求まる!

本件は【数学A】>【場合の数】>【積の法則】にカテゴライズされるのが好ましいようですね・・・。

 

ただがむしゃらに1つずつ数え上げる・・・と言う荒っぽい手法でも約数の個数は求める事が可能です。

 

数え上げるのが得意な方は,どうぞ地道に数え上げて下さい。

その手法,何桁まで対応可能ですか・・・。

大事なのは「過不足なく数え上げる事」です。

一体どう工夫すれば要領良く数え上げる事が出来るのでしょうか。

その秘訣を探るべく,紙に数字を書き並べながら,熟考して下さい。

最初から楽な方法を知ってしまうと,その方法の価値ありがたみを理解できず,大して印象にも残りません。

そんな理由から,この種の問題は,先ず自分で手を沢山動かして,大変な方法も体感しておくべきだと,筆者は思います。

 

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例題 392の正の約数の個数を求めよ。

(参照元:ニューアクションω 数学Ⅰ+A)

 

先に述べてしまうと答えは12個です。

たったの12個なので,是非とも,自分なりの方法で数え上げてみて下さい。

その後で,以下の方法をマスターしてみましょう。

 

正確に素因数分解するのが第一段階。

の正の約数は4つです。

の正の約数はつです。

の正の約数は上記おのおのの約数同士を掛け合わせて得る事が出来ます。

丁寧に列挙してあげると

となります。

積の法則を用いれば4×3=12個と言うことになります。

 

ポイント

自然数を素因数分解して,のとき

約数の個数 

 

更に一般的に

のときの約数の個数は

で与えられる。