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比例式は「=k」を使って簡単に解ける!?|数学勉強法

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例題

のとき、この式の値を求めよ。(東北学院大)

 

解き方

このような型式の問題に出くわしたら、「あっ!比例式だ」とひらめけば、

もう答えはすぐそこまで見えています。

 

比例式のポイントは 「=k」

合言葉のように覚えておくと、便利です。

つまり

とおけば、a=bk、c=dkと変形することができるという手法です。

 

この手法を利用して、

とすれば、

a+1 = k(b+c+2)   (1)

b+1 = k(c+a+2)   (2)

c+1 = k(a+b+2)   (3)

 

(1)~(3)の3つの式が成り立ちます。

これらをすべ足し、(a+b+c+3)でくくると、

(a+b+c+3)(1-2k)=0 (4)となります。

 

あとは、(4)の式が成立するためには、

(a+b+c+3)の値が0であるか、(1-2k)の値が0になる必要があります。

前者であればa+b+c+3=0とおき、

a=-b-c-3と式を変形して、の式に代入してやれば良いのです。

これをbの場合、cの場合とそれぞれで求めます。

後者であればとなりますから、(1)~(3)の式に代入して、それぞれを求めれば良いわけです。

 

というわけで答えは、

a+b+c+3=0ならば -1

a+b+c+30ならば、 となります。

 

比例式にすれば良いということに気がつけば、

あとは連立方程式を解くような感覚で、問題を解いていくことができます

特徴的なこの型式を見たら「比例式」!これがポイントです。