2018/11/09公開

二次関数の軸と頂点の分かりやすい求め方!|数学勉強法

2次関数の軸

まずは、下の図を見てください。

この2次関数は

y=ax2+bx+c

に基づいています。

少し分かりずらいですが、これが2次関数の軸です。

この図を見て「あ、y軸に平行だ!」と気づいた人は合格です。

では、なぜこのような図になるのでしょうか?

先の2次関数の式を変形してみましょう。

y=ax2+bx+c

  =a(x+)2+c-

このことから、軸の方程式はx=-、軸の頂点は(-)となります。

いやあ、実に面倒ですよね。。。

でも、よく図の2次関数をよく見てください。軸はy軸に平行になっていますし、頂点の傾きはx軸に平行になっていますよね?

つまり、軸の頂点では傾きが0、つまりy’=0ということです。

では、実際に先の2次関数を微分してみましょう。

y’=2ax+b

これが0になるわけですから、この2次関数の軸はx=-となるわけです。

これを覚えておくと、2次関数の頂点はすぐに求められます。

では、実際に練習問題を解いてみましょう。

 

練習問題

2次関数

y=2x2+5x-2

の軸の方程式と頂点の座標を求めなさい。

解答

せっかくなので、ここでは微分する方法でやってみましょう。

y’=4x+5=0

x=-

ああ、なんて簡単なんでしょう!!

たったこれだけで軸の方程式が求められます。

あとは、このxの値を先の2次関数に入れるだけです。

y=2×(-)2+5×(-)-2=-

つまり、答えは、

軸の方程式

x==

2次関数の頂点(-)

となります。

分数の計算は面倒ですが、ここは頑張って出してください。

計算間違えは厳禁です。

もちろん最初に示した方法でも出来ますので、興味ある人は自分でやってみてください。

 

まとめ

2次関数は放物線です。

そのため、上か下に凸のグラフになります。

つまり、必ず頂点が存在するということです。

その頂点の軸はy軸に平行になります。

また、頂点における傾きはx軸に平行になります。

この;2点は覚えておくと、2次関数のことをイメージしやすいです。

軸の方程式を求める際には、この頂点における2次関数の傾きが0なので、微分して求めましょう。

このように、2次関数がx軸とy軸に対し、どういう位置関係にあるのかを瞬時にイメージできることがこの解を求める際のポイントとなります。

このイメージがすぐ出来るようになると、2次関数の軸がy軸になるときはどんなときかすぐに分かるようになります。

え?分からないって?

一般的な2次関数

y=ax2+bx+c

の場合でいえば、b=0の時、2次関数の軸はy軸になります。

a=0だと2次関数にならないことは大丈夫ですよね?

y=ax2+c

これを微分すると

y’=ax=0

つまり、x=0となり、この2次関数の軸がy軸となることが分かります。

こういったことがすぐにイメージできるようになれば完璧です。

 

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